Des fractales en 3D : de l’ensemble de Mandelbrot aux volumes Mandelbulb

Voici quelque chose qui m’a toujours fascinée – et peut-être touche des mécanismes universels que nous ignorons encore – : les fractales.
Vous en avez tous déjà vu, un coup d’oeil sur Google Images vous permettra d’en dénicher de magnifiques, et la nature ne manque pas de modèles fractals : les flocons de neige, les fougères… ou le chou Romasnesco !

Récemment, un anglais, Daniel White, a annoncé avoir réussi à produire la représentation en trois dimensions la plus précise de l’ensemble de Mandelbrot, baptisée Mandelbulb.

Une fractale, kezako ?

C’est le mathématicien français Benoît Mandelbrot, inventeur de l’ensemble du même nom, qui a forgé ce terme dans les années 70.

Un objet fractal se caractérise par son auto similarité (parfaite ou approchée) : il contient des structures homologues, quelle que soit l’échelle d’observation où l’on se place. Le tout est comparable à l’une de ses parties.

Mathématiquement, pour définir l’ensemble de Mandelbrot, on associe à chaque point C du plan complexe (fondé sur les nombres imaginaires où i a pour carré -1… promis je n’insiste pas plus sur ce sujet ;) ) la suite z_n+1 = z_n² + C avec z₀ = 0.

Ce qui est intéressant du point de vue du néophyte est que cet ensemble est borné par un cercle de rayon 2 : il a donc une aire qui est finie. Alors que son périmètre lui, est infini. Ce qui explique pourquoi tout son attrait est qu’il se passe énormément de choses à ses frontières (il faut bien que le « périmètre s’étende ») : à condition de regarder toujours plus près, dans l’infiniment petit !

Mandelbub : un volume de Mandelbrot en 3D

Une tige et une spirale, en 2D (Mandelbrot) et en 3D (Mandelbulb). Images Daniel White

Daniel White a adopté une démarche géométrique plutôt que basée sur le calcul complexe, en considérant que l’équation ci-dessus revient à une rotation dans le plan complexe et une translation (un déplacement linéaire).

Jusqu’ici des tentatives de représentations en 3D étaient basées sur différentes méthodes approximées à partir d’ensembles en 2 ou 4D : comme la rotation d’un ensemble 2D autour d’un axe central, ou sa simple élévation jouant sur les couleurs, ou encore la projection en 3D (visualisation de coupes) d’ensembles à 4D utilisant des quaternions.

Pour créer l’ensemble de Mandelbrot, pour chaque point, on répète l’opération jusqu’à ce que la suite diverge (sorte de l’ensemble)… ou plus prosaïquement jusqu’au maximum d’itérations qu’on s’était fixé (notre précision a ses limites !) Et dans nos représentations graphiques, on fait traditionnellement varier la couleur selon que la suite a divergé plus ou moins vite (nombre d’itérations effectuées) : les zones concentriques colorées reflètent donc la distance aux pourtours.

Partant de là, au lieu de procéder à partir d’un plan (des points de coordonnées planes cartésiennes x, y), White s’est servi de coordonnées spatiales sphériques (x,y,z). Un confrère, Paul Nylander, a eu l’idée d’exploiter des puissances supérieures à 2 qui, à partir de 8, ont produit le résultat espéré. Un bon moteur de rendu 3D permet de « naviguer » dans le volume obtenu, comme le montrent les vidéos, certaines impressionnantes..

White admet ignorer s’il touche ainsi au « véritable » Mandelbrot en 3D, dont nul ne sait même s’il existe : après la démarche empirique il reste à faire sur le plan formel et de la recherche mathématique ! Mais l’exercice fait progresser ce qui avait été imaginé, inspire à quoi il pourrait ressembler car l’analogie est parfois surprenante, et surtout produit des images époustouflantes. Le tout rappelons-le grâce à un calcul itératif basé sur une « simple équation » !

Algorithme et explications sur le site de Daniel White
D’autres vidéos de Mandelbulb sur YouTube
Des articles du New Scientist et de sites francophones : ChicAndGeek , xgouchet.fr

Crédit Photo en-tête : Power 8 mandelbulb fractal overview, by Ondřej Karlík – Own work, CC BY-SA 3.0 on Wikimedia Commons